Inhoudsopgave
Klik op de regel en je scrollt meteen naar het onderwerp in kwestie.
- Inleiding
- Het plan
- De onnavolgbaarheid van Descartes
- De Géométrie in handen van Frans van Schooten
- Video’s over René Descartes
Inleiding
Eén van de belangrijkste ontwikkelingen in de zeventiende eeuw was het idee van Descartes om algebra en meetkunde aan elkaar te koppelen. Daardoor werd het voor wiskundigen mogelijk om meetkundige figuren (lijnen, cirkels, kegelsneden, en nog veel meer krommen door middel van vergelijkingen te beschrijven. Tegenwoordig horen vergelijkingen in x en y en grafieken als broer en zus bij elkaar, maar dat hebben we dus te danken aan Descartes (zie foto hiernaast).
Hieronder zie je een stukje uit de documentaire van de BBC (The Story Of Maths). Voor meer informatie over deze documentaire klik hier.
Video – Descartes Meetkunde en Algebra Leiden
Descartes schreef in 1637, toen hij zijn revolutionaire wiskundige ontdekkingen openbaar maakte, maar ten dele als wiskundige, maar meer als filosoof. Bovendien was hij al schrijvend niet de wiskundige die er op uit is om aan anderen duidelijk te maken wat hij ontdekt heeft. Daar kwam nog bij dat de wiskunde het doel van de filosoof moest dienen, want Descartes wilde in 1637 in de Discours de la méthode in eerste instantie laten zien hoe ware kennis tot stand komt. Hij betoogt in de Discours dat men moet uitgaan van vaste, algemeen aanvaarde grondbeginselen en dat men via heldere regels algemene schets van zijn methode gegeven heeft licht hij haar aan de hand van drie specifieke wetenschapsgebieden toe. Hij doe dat in drie lange essays die als appendices volgen op de eigenlijke Discours. Het derde essay (“La Géométrie”, appendix bij de Discours uit 1637, pp. 297-413) is aan de wiskunde gewijd.
De titel “La Géométrie” geeft aan dat het essay bedoeld is om aan te tonen hoe ware kennis op het gebied van de meetkunde verkregen kan worden. De weg daartoe, zegt Descartes, is de algebra. Door de vele algebra maakt de Géométrie op de moderne lezer de indruk van een studie op een veel breder gebied dan alleen meetkunde. Maar Descartes scheidt duidelijk doel (nieuwe waarheden vinden binnen de meetkunde van middelen (algebra; de titel verwijst naar het doel).
Direct in het begin van de Géométrie ontvouwt Descartes zijn plan om algebra te gebruiken voor het analyseren van meetkundige constructieproblemen. We zullen eerst een deel van de letterlijke formulering van het plan bekijken. Vervolgens zulen we zien dat de tekst voor tijdgenoten moeilijk te volgen moet zijn geweest. En tenslotte zullen we zien hoe het werk van een vertaler en commentator, de Leidse hoogleraar Frans van Schooten, op de slechte toegankelijkheid van de Géométrie ingespeeld heeft. Van Schooten, die een goede bekende van Descartes was, heeft ervoor gezorgd dat diens ideeën ondanks een ‘problematische start’ na 1660 toch algemeen overgenomen werden.
Het plan
Descartes formuleert zijn plan na een inleiding van enkele pagina’s waarin hij laat zien hoe rekenkundige bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken) meetkundig voorgesteld kunnen worden.
Als je lijnstukken met letters aanduidt, zegt Descartes, elk lijnstuk door één enkele letter, dan kun je zeer eenvoudig meetkundige berekeningen rekenkundig beschrijven. Neem bijvoorbeeld lijnstukken BD en GH (zie figuur 6.1); noem elk lijnstuk a en het andere b; a + b wordt dan voorgesteld door het lijnstuk dat je krijgt als je GH aan BD vastmaakt in het verlengde van BD.
Op soortgelijke wijze kan Descartes ook aan uitdrukkingen als a – b, a ⋅ b, a ÷ b en √a een meetkundige interpretatie geven (voor a ⋅ b en a ÷ b introduceert hij een nieuwtje).
Dan ontvouwt Descartes zijn plan om algebra in te schakelen voor het oplossen van meetkundige constructieproblemen. Letterlijk in het Nederlands vertaald luidt het begin van het plan als volgt (Géométrie 1637, p. 300):
Dit is in Descartes’ eigen woorden het eerste deel van het plan, het vertalen van het meetkundige probleem in een of meer vergelijkingen met de te construeren lijnstukken in de rol van de onbekende (een algebraïsch probleem). De volgende stap is: los de onbekende(n) uit de vergelijking(en) op. Je hebt dan een algebraïsche uitdrukking voor de te construeren lijnstukken in termen van de gegeven lijnstukken. Tenslotte moet je de gevonden algebraïsche uitdrukkingen weer terugvertalen naar de meetkunde en het gezochte lijnstuk ook daadwerkelijk construeren.
Oefening 1
Los het volgende probleem op door algebra te gebruiken om een meetkundig probleem op te lossen: van 180 cm ijzerdraad wordt een draadmodel van een doosje gemaakt in de vorm van een balk. Voor het grondvlak geldt: de lengte is twee keer de breedte.
Bereken de afmetingen van het doosje met de maximale inhoud.
(NB: Je mag gebruik maken van differentiaalrekening, dat was nog niet uit de tijd van Descartes …)
Oefening 2
Descartes koppelde algebra en meetkunde aan elkaar. Zo liet Descartes zien dat een lijnstuk een lengte kan hebben van x2, x3, x4 etc. Voorheen hoorde x2 bij de oppervlakte van een vierkant, x3 bij een inhoud van een kubus en bij x4 werd het al wat ingewikkelder…
a. Teken een driehoek met zijde 1 en met zijde x (zoals hieronder)
b. Verleng het lijnstuk met lengte 1 met x. Trek vervolgens de driehoek door (zie hieronder).
c. Dit is een meetkundige constructie. Je hebt nu twee gelijkvormige driehoeken. Wat is de lengte van het lijnstuk met het ‘?’ ?
d. Herhaal dit proces nog een keer. Verleng het lijnstuk 1 + x met het antwoord uit vraag c. en bereken vervolgens de lengte van het nieuwe lijnstuk (het verlengde stuk van het ‘?’).
Het antwoord vind je in de video van Dédé de Haan.
De onnavolgbaarheid van Descartes
De Géométrie moet voor tijdgenoten een moeilijk te doorgronden tekst geweest zijn. De hierboven geciteerde passage (> Het begin van het plan), bijvoorbeeld, is uiterst beknopt en algemeen. Hoe het beschreven procédé in de praktijk werkt, blijkt hieruit niet.
De eerste toepassing die Descartes geeft (hij lost een open probleem op dat stampt uit de Griekse oudheid) is meteen zo’n technisch hoogstandje dat de onervaren lezer daaraan weinig gehad zal hebben. Dat geldt niet alleen voor de geciteerde passage, maar voor de Géométrie als geheel.
Descartes slaat in redeneringen grote stukken over en stapelt zoveel nieuwe en conceptueel ingewikkelde zaken op elkaar zonder zijn lezer in staat te stellen ermee te leren omgaan, dat de Géométrie buiten het bereik van de meeste tijdgenoten moet hebben gelegen. Regelmatig laat hij zich ook zelf uit over het feit dat hij zaken weglaat. Direct nadat hij zijn plan ontvouwd heeft schrijft hij bijvoorbeeld:
Als descartes dit alles serieus gemeend heeft moeten we vaststellen dat hij de meeste lezers van zijn werk overschat heeft. Het invullen van de weggelaten stappen in een zo volstrekt onontgonnen nieuw gebied vraagt zoveel zelfstandig wiskundig werk dat slechts een enkeling er toe in staat zal zijn geweest zonder de latere commentaren te gebruiken. En als hij het niet serieus gemeend heeft, waarom heeft hij het dan toch op deze manier gebracht? Dat is een intrigerende vraag, waarop we (omdat het hier niet over het karakter van Descartes gaat, maar over de verspreiding van zijn werk) echter niet zullen ingaan.
De Géométrie in handen van Frans van Schooten
De rijkdom aan nieuwe ideeën van de Géométrie (de methode om meetkundige problemen met algebraïsche methoden te analyseren is er slechts één van, zij het dan wel het basale) is pas goed tot uiting gekomen in de commentaren die Frans van Schooten (1615 – 1660) voegde bij zijn Latijnse vertaling van de Géométrie. Er verschenen drie edities van, de eerste in 1649 (Leiden), de tweede, sterk uitgebreide in twee delen in 1659 en 1661 (Amsterdam) en de derde, identiek aan de tweede in 1683 (Amsterdam). Het werk werd veel geciteerd en diende als studiemateriaal voor de nieuwe generatie wiskundigen die in het laatste kwart van de zeventiende eeuw met de uitvinding van de differentiaal- en integraalrekening het voortouw overnamen; het was kortom één van de centrale wiskundige teksten uit de zeventiende eeuw.
Van Schooten vertaalde het werk uit het Frans in het Latijn, waardoor een het een grote bereik kreeg. Verder nam hij een heel aantal onduidelijkheden weg, en bracht hij er meer systeem in aan. Ofwel: hij vertaalde, hij gaf commentaar (uitleggen, verwijzen naar andere literatuur, vereenvoudigen, verbeteren), hij systematiseerde en hij exploreerde (open vragen beantwoorden, vergelijkbare gevallen uitwerken, nieuwe problemen stellen en uitwerken). Voor meer informatie over Frans van Schooten: zie www.fransvanschooten.nl.
Video’s over René Descartes
Video – Descartes
Hier vind je een uitleg van Descartes’ bijdrage aan de wiskunde. Deze video is gemaakte door Dédé de Haan. In deze video komt ook oefening 2 voorbij.
Video – Descartes bij Endegeest
Video – René Descartes – Durf te Denken
Wil je meer weten over de filosoof René Descartes? Bekijk dan onderstaande video!
Video – PHILOSOPHY – René Descartes
Nog meer weten? Bekijk dan deze uitgebreide video in het Engels hieronder!