Algebra in de zestiende eeuw

Inhoudsopgave

Klik op de regel en je scrollt meteen naar het onderwerp in kwestie.

Inleiding

In de zestiende eeuw publiceerden veel Italiaanse wiskundigen hun ontdekkingen niet. Ontdekkingen waren bedrijfsgeheimen. Wie namelijk in staat was om problemen op te lossen die voor collega’s te moeilijk waren had meer aanzien, en dus meer leerlingen en dus een beter belegde boterham. Er was nog geen overheid die voor onderwijs zorgde. Wie toen in Italië wiskunde wilde leren moest daar geld voor neertellen. In openbare duels gaven de wiskundigen elkaar problemen op, en wie de meeste van die problemen kon oplossen had de meeste leerlingen. Zo eenvoudig was dat, en geheimhouding van methoden was dus van levensbelang.
Een probleem dat in het begin van de zestiende eeuw vaak bij dit soort duels op tafel kwam was het algebraïsch oplossen van derdegraadsvergelijkingen. Men had het idee dat die niet met een soort abc-formule opgelost zouden kunnen worden, maar blijkbaar wilde niet iedereen dat geloven, want het probleem werd steeds opnieuw bestudeerd.
De eerste persoon die enkele derdegraadsvergelijkingen algebraïsch oploste was Scipione del Ferro (1465-1525). Hij maakte zijn oplossing niet openbaar, maar vertrouwde haar wel aan enkele leerlingen toe. In 1534 slaagde Niccolo Fontana (1500-1557) er ook in om een oplossing te vinden van zo’n vergelijking. Fontana was een begaafde wiskundige, zoon van zeer arme ouders. Bij een jeugdongeluk liep hij verwondingen in zijn gezicht op en verder had hij moeilijkheden bij het spreken, vandaar zijn bijnaam Tartaglia (= de stotteraar). Of hij via via de oplossing van Scipione had gehoord weten we niet. Het kan ook zo zijn dat het gerucht van het bestaan van een oplossing hem gestimuleerd heeft om extra goed te zoeken.
Het nieuws over het succes van Tartaglia verspreidde zich snel en Gerolamo Cardano (1501-1576) hoorde ervan, en wilde graag de oplossing leren kennen. Cardano was een hoogleraar in de wiskunde in Milaan, was een glamourboy met een opvliegend karakter en had zijn positie te danken aan zijn vader. Cardano drong aan op een ontmoeting met Tartaglia, en na lang wachten kreeg Cardano zijn zin (na een copieus diner en veel wijn ging Tartaglia overstag). Tartaglia vertelde in 1546 hoe de zaak daarna gelopen is.

Het gesprek tussen Tartaglia en Cardano

Hieronder volgt een video: ‘Tartaglia over zijn ontmoeting met Cardano in 1539’:

Wil je het gesprek liever lezen op papier? Klik dan hier.

Hieronder volgt een vertaling van “het gedicht”:

Als x tot de derde macht en x maal c na optelling tezamen d geven
vind dan eerst twee and’re getallen met verschil d. Daarbij moet dan ok nog even de één maal de ander gelijk zijn aan eenderde van c en dit tot de derde macht verheven.
De algemene regel is nu heel fijn:
laat het verschil van de derdemachtswortels van deez’ twee de x die gezocht wordt zijn.

Het tweede geval in dit procédé doet zich voor wanneer de derde macht afzonderlijk staat
Ook dan weten we er wel raad mee: er zijn nu twee delen waaruit de d bestaat.
En wel zo, dat het ene maal het and’re part
gelijk is aan eenderde van c, dat weer tot de derde macht gaat.

De algemene regel is hieruit ontward:
dat de derdemachtswortels van de delen tesamen de oplossing zijn, gezocht bij de start.

Het derde geval kan nu geen tijd meer velen:
als het tweede geval kunnen we de x bepalen. U ziet dat ze van nature al niet veel schelen.
Dit heb ik gevonden, met weinig dralen
in het jaar éénduizend vijfhonderd vierendertig alweer
enige tijd gelee
met stevige grondslag, zonder veel omhalen in een stad omringd door zee.

Vervolg gesprek:

Dit vers spreekt zo duidelijk, dat ik geloof dat Uwe Excellentie zonder enig verder voorbeeld alles zal begrijpen.
CARDANO: Zeker zal ik het goed begrijpen, en ik heb het nu al bijna begrepen. Ga als U dat wenst, en wanneer U bent teruggekeerd, dan zal ik U laten zien dat ik het heb begrepen.
TARTAGLIA: Nu, onthoud Uw erewoord, Uwe Excellentie, en vergeet het niet, want wanneer het ongelukkigerwijs wordt verbroken, dat wil zeggen, wanneer U deze oplossingen publiceert, of dat nu is in het boek dat U momenteel laat drukken of in een andere vorm, ook al publiceert U ze met mijn naam eronder en met de erkenning dat ik de echte ontdekker ben, ik beloof en zweer U dat ik direct een ander boek zal uitgeven dat niet aangenaam voor U zal zijn.
CARDANO: Twijfel niet of ik mijn belofte zal houden. Ga, en verzeker U ervan deze brief uit mijn naam aan de Heer Marchese te geven.
TARTAGLIA: Vergeet het alstublieft niet.
CARDANO: Ga, en wel direkt.
TARTAGLIA: Eerlijk gezegd wil ik liever naar Vigevano. Ik zou liever terugkeren richting Venetië, kome wat er komen gaat.

Tot zover het gesprek tussen Tartaglia en Cardano.

Wil je het hele gesprek nalezen? Klik dan hier.

Ontcijfering van het eerste couplet

Ontcijfering van het eerste couplet levert ons het volgende op: de oplossing van de vergelijking x³ + cx = d kan kennelijk worden gevonden door twee getallen u en v te zoeken met:
Omdat het nog helemaal niet zo gemakkelijk is om tot de oplossing te komen, zal dit door Dédé de Haan, in onderstaande video, worden uitgelegd. Nu volstaan we met het geven van de uitkomst:

Video – Uitleg van de formule van Cardano
In deze uitleg-video wordt verteld hoe Tartaglia op het idee kwam van zijn uiteindelijke oplossing van de 3degraadsvergelijking. (In de reader lees je hoe Cardano hem die oplossing ontfutselde, met als uiteindelijk gevolg dat deze oplossing nu de “formule van Cardano” heet).

Zoals je in Berlenghoff (het boek Wortels van de Wiskunde) kunt lezen heeft Cardano zijn woord niet gehouden. Een jarenlange twist volgde, Tartaglia openbaarde in 1546 het bedrog, maar de oplossingsmethode voor de derdegraads vergelijkingen wordt nog steeds naar Cardano genoemd. Ook in het algebraboek van Stampioen uit 1639, dat we al eerder bekeken hebben, komen de derdegraads vergelijkingen aan de orde. Stampioen hield trouwens voor zich dat hij zijn wijsheid van Cardano had. Hier volgt Stampioens oplossing van de vergelijking x³ + 9x = 26. Je kunt er mooi in zien hoe Tartaglia’s oplossing van “Wanneer een derdemacht en de dingen samen gelijk zijn aaneen geheel getal” verloopt.

Oefening 1
a. Lees bovenstaande tekst door. Hoe schrijft Stampioen de vergelijking op?
b. In de “Regel” staat in woorden de formule van de vorige bladzijde. Wat betekenen de woorden “Teerling” en “’t ledige” en “Teerling-wortel”?
c. Gebruik de formule van de vorige bladzijde om de oplossing te vinden.
d. Vertaal “Verclaringh” en leg deze naast je eigen oplossing.

Antwoordblad

Video – Genieschool aan de Begijnhof

Video – Grafsteen Ludolf van Ceulen
In dit filmpje van 2 minuten vertelt Dédé de Haan iets over de bijdrage van Ludolph van Ceulen aan het aantal decimalen van pi.

Video – Snellius in de Pieterskerk
In dit filmpje van slechts 30 seconden zie je de grafsteen van Snellius, en hoor je iets over hem wat je misschien nog niet wist!

Video – Galileo Galilei – in a nutshell

De uitvinding van de complexe getallen

Video – Uitleg ontdekking complexe getallen

In dit filmpje legt Dédé de Haan uit, bij de aantekeningen op het bord, waarom Bombelli het nodig vond om een ‘ander soort getal’ te bedenken…

Tijdlijn – Geschiedenis van de wiskunde