De Babyloniërs gebruikten een zestigtallig (sexagesimaal) positiestelsel. Daar gaan we op deze pagina dieper op in.
In ons tientallig positiestelsel heeft het getal 1406 de waarde:
In het zestigtallig stelsel kan 1406 de waarde hebben. Maar omdat de Babyloniërs geen teken hadden om aan te geven waar de posities met negatieve machten van 60 begonnen, zou 1406 ook een andere waarde kunnen hebben, bijvoorbeeld:
Welk getal bedoeld werd was gewoonlijk wel duidelijk uit de berekening of volgde uit de aard van de opgave.
Het overbrengen van het tientallige stelsel in het zestigtallig stelsel gaat als volgt.
Als voorbeeld het getal 230406:
We zullen op deze site (in het zestigtallig stelsel) de getallen in verschillende posities scheiden door er een punt tussen te zetten. De overgang van
zullen we met een komma aangeven. Verder zullen we 0 schrijven als een bepaalde macht van 60 niet voorkomt. De voorbeelden hierboven worden 1.4.0.6 en 1.4,0.6.
De Babyloniërs deden dit niet. In het begin lieten ze hoogstens wat ruimte leeg als een bepaalde macht van 60 niet voorkwam.
Oefening 1 a. Schrijf het getal 4.5.0,4 (zestigtallig) om naar het tientallig stelsel. b. Schrijf het getal 4.5,0.4 (zestigtallig) om naar het tientallig stelsel.
De Babyloniërs gebruikten slechts twee symbolen om de getallen te noteren (zie figuur 2.1).
Figuur 2.1
een rechtop staande spijker die de waarde 1 had en herhaald werd om de getallen 1 tot en met 9 te noteren
een liggende “winkelhaak” die de waarde 10 had en herhaald werd om de getallen 10 tot en met 50 te noteren.
Het getal 36 bestond dus uit 3 winkelhaken en 6 spijkers.
In figuur 2.2 zie je hoe het spijkerschrift werd gemaakt met behulp van een stift in een kleitablet. Meestal werden die tabletten daarna gebakken.
In figuur 2.3 zie je een kopie van een oud kleitablet.
Figuur 2.2Figuur 2.3
Hieronder zie je een video van Desiree van den Bogaart. Zij geeft in deze video meer informatie over het zestigtalligstelstel.
Oefening 2 a. Reken de volgende tientallige tallen om naar het zestigtalllig stelsel en zet daarachter het spijkerschrift: 24, 66, 503, 4304 en 32437. b. Leg uit (zie figuur 2.1) dat 95,20 (tientallig) hetzelfde is als 1.35,12 (zestigtallig). c. Leg uit waarom 7236 en 156 (beide tientallig) moeilijk te onderscheiden waren in de spijkerschrift notatie.
Vind je het omzetten van getallen van het tientallig naar het zestigtallig lastig? Bekijk dan nog deze video van Desiree van den Bogaart.
Hoe rekenden de Babyloniërs?
Het optellen en aftrekken leverde weinig problemen op. Dit werd opdezelfde wijze gedaan als in het tientallig stelsel, dus positie voor positie. En eventueel “lenen”.
Vind je dit optellen en aftrekken nog lastig? Bekijk dan deze video van Desiree van den Bogaart.
Vermenigvuldigen
Het vermenigvuldigen geschiedde ook op dezelfde wijze als bij ons. Maar de Babyloniërs moesten hiervoor meer tafels van vermenigvuldigen kennen dan wij.
Verschillende van deze tafels heeft men op kleitabletten teruggevonden.
Zo bestond de tafel van 2 uit 1 ⋅ 2, 2 ⋅ 2, .. , .. , 19 ⋅ 2, 20 ⋅ 2, 30 ⋅ 2, 40 ⋅ 2 en 50 ⋅ 2.
Men vond dus bijvoorbeeld 26 ⋅ 2 door in de tafel 20 ⋅ 2 en 6 ⋅ 2 op te zoeken en de uitkomsten op te tellen.
Hieronder in figuur 2.4 zie je de tafel van 2 op de voor- en achterkant van een kleitablet (ongeveer 1350 voor Christus).
Figuur 2.4
Oefening 4 a.
b. Bereken 2 ⋅ 39 zoals de Babyloniërs dat deden, dus met behulp van de vermenigvuldigingstafel (figuur 2.4). c. Hieronder (in figuur 2.5) staat een andere vermenigvuldigingstafel. Welke tafel is dat? Hoe weet je dat?
Figuur 2.5
Babylonisch vermenigvuldigen zonder vermenigvuldigingstafel? Kijk daarvoor onderstaande video van Desiree van den Bogaart.
Breuken
De Babyloniërs werkten ook met breuken. Hieronder in de PowerPoint (figuur 2.6) kun je zien hoe je 1/9 in het zestigtallig stelsel kunt schrijven. Gaat dit iets te snel? Kijk dan deze video van Desiree van den Bogaart.
Figuur 2.6
Hieronder in figuur 2.7 zie je nog wat voorbeelden.
Figuur 2.7
Oefening 5 a. Herschrijf de volgende tientallige breuken om naar het zestigtallig stelsel (geef een berekening zoals in figuur 2.6).
b. Schrijf 1.33,30.40 (zestigtallig) om naar een tientallige breuk.
Het delen werd teruggebracht tot vermenigvuldigen. Men deed dat door het deeltal te vermenigvuldigen met het omgekeerde (de inverse) van de deler. Als men bijvoorbeeld 47 : 3 wilde berekenen, dan berekende men eerst 1 : 3 en vervolgens vermenigvuldigde men de uitkomst met 47.
Om deze berekeningen te vereenvoudigen stelde men inversen-tafels op. Eén van de oudste inversen-tafels die men gevonden heeft bevat de inversen van 1 tot en met 81, voor zover de getallen uitsluitend delers van 60 (2, 3 en 5) als factor bevatten. Het begin van deze tafel luidt:
De inversen van bijvoorbeeld 1 : 7 en 1 : 11 werden ofwel vermeden ofwel benaderd (zoals wij voor 1 : 7 een benadering van 0,14 gebruiken).
Een voorbeeld van een berekening:
5 : 9 = 5 x (1 : 9) = 5 x 0,6.40 = 0,33.20
Oefening 6 Bereken op Babylonische wijze: a. 22 : 5
b. 19 : 9 c. 15 : 10
Oefening 7 Hieronder is in figuur 2.8 een kopie van een kleitablet te zien (AO 8862, gekopieerd door O. Neugebauer, in Mathematische Keilschifttexte (Springer, 1935-37)). Op de plaatsen waar de kopie grijs is, is het tablet beschadigd. Het tablet is momenteel te zien in het Louvre in Parijs. De tekst op het tablet gaat over een kwadratische vergelijking. Verder gaat het ongeveer zo:
lengte en breedte heb ik vermenigvuldigd. Wat de lengte uitsteekt over de breedte heb ik bij de oppervlakte opgeteld en dan krijg 3.3,0. Lengte en breedte opgeteld is 27,0. Wat zijn de lengte en de breedte?
Figuur 2.8
a. In regel 11 staat 2 + 27. Hoe wordt het plus-teken hier geschreven? Klik dit figuur aan op onderstaande afbeelding.
b. De uitkomst van 2 + 27 staat op regel 12. Klik dit antwoord aan op onderstaande afbeelding.
c. In regel 17 staat nog een optelling, met het antwoord in regel 18. Welke optelling is dit? Klik dit antwoord aan op onderstaande afbeelding.
d. Bereken 14,30 x 14,30. Controleer het antwoord in regel 13.
e. Ergens in de regels 21 t/m 26 staat 15 x 12 = 3.0. Waar? Klik dit antwoord aan op onderstaande afbeelding.
hebben. Maar omdat de Babyloniërs geen teken hadden om aan te geven waar de posities met negatieve machten van 60 begonnen, zou 1406 ook een andere waarde kunnen hebben, bijvoorbeeld: 
